Les nombres magiques sont au nombre de trois : le nombre d'or, le nombre d'argent et le nombre plastique !! (non non, ce n'est pas une blague!). Vous avez sûrement déjà entendu parler du nombre d'or, ce nombre mystérieux qu'on retrouve à toutes les sauces, que ce soit en Grèce, sur les escargots, et même sur les cartes bancaires. Mais que savez vous des deux autres nombres ?
Le nombre d'Or, aussi noté \( \Phi \) (se prononce Phi) est définie comme l'une des solutions de l'équation : \(x²=x+1\). Ainsi, il suffit de résoudre une équation du second degré (\(\Delta = 1+4*1=5\)), et on a
$$\Phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1.61803398874989484820458683437$$
Le nombre d'argent, est définie comme l'une des solutions de l'équation \(x^3=x^2+x+1\). De cette manière, en résolvant cette équation du troisième degré, on a
$$nombreArgent = \frac{1}{3} \left(1+\sqrt[3]{19-3 \sqrt{33}}+\sqrt[3]{19+3 \sqrt{33}}\right) \approx 1.83928675521416113255185256465$$
Enfin, le nombre plastique, de symbole \(\Psi\) (se prononce Psi) est la solution de l'équation \(x^3=1+x\). On a alors :
$$\Psi= \frac{1}{3} \sqrt[3]{\frac{27}{2}-\frac{3 \sqrt{69}}{2}}+\frac{\sqrt[3]{\frac{1}{2} \left(9+\sqrt{69}\right)}}{3^{2/3}} \approx 1.32471795724474602596090885448 $$
Connaissez vous la suite de Fibonacci ? Elle est définie de cette manière :
$$
\left\{
\begin{array}{r c l}
U_0 &=& 1\\
U_1 &=& 1\\
U_{n+3} &=& U_{n+2}+U_{n+1}+U_{n}
\end{array}
\right.
$$
En fait, si vous n'avez pas compris cette formule, la suite de Ficonacci est une suite telle que chaque terme est la somme des deux termes qui le précèdent. Ainsi, si \(U_0\) = 1 et \(U_1\) = 1, alors \(U_2=U_0+U_1=1+1=2\) !!
Et ainsi de suite, on a
\(U_3=U_1+U_2=1+2=3\)
\(U_4=U_2+U_3=2+3=5\)
\(U_5=U_3+U_4=3+5=8\)
\(U_6=13\)
\(U_7=21\)
\(U_8=34\)
\(U_9=55\)
Eh bien, ce qu'elle a de magique, cette suite, c'est que le rapport \(\frac{U_{n+1}}{U_n}\) tend vers \(\Phi\) (le nombre d'or). En effet, on a \(\frac{U_9}{U_8}=1.6177\) et \(\frac{U_50}{U_49}=\frac{12586269025}{7778742049}=1.61803398874989484819719595255\). Pour rappel, \(\Phi \approx 1.61803398874989484820458683437\)
Bien sûr, cette propriété n'est pas exclusivement reservée au nombre d'or. La suite de Tribonacci, définie par :
$$
\left\{
\begin{array}{r c l}
U_0 &=& 0\\
U_1 &=& 0\\
U_2 &=& 1\\
U_{n+2} &=& U_{n+1}+U_{n}
\end{array}
\right.
$$
possède les mêmes propriétés. Si on divise deux termes consécutifs, le quotient tend vers le nombre d'argent!! Ainsi, \(\frac{U_30}{U_29}=\frac{8646064}{4700770}=1.83928675514862458703574095308\) (Le nombre d'argent vaut 1.83928675521416113255185256465)
Enfin, la suite de Padovan, définie par
$$
\left\{
\begin{array}{r c l}
U_0 &=& 1\\
U_1 &=& 1\\
U_2 &=& 1\\
U_{n+3} &=& U_{n+1}+U_{n}
\end{array}
\right.
$$
possède un quotient qui tend vers le nombre plastique. En effet, \(\frac{U_30}{U_29}=\frac{10252}{7739}=1.3247189559374596201\) (Le nombre plastique vaut environ 1.324717957244746025960)