Nous allons nous intéresser dans cet article aux très grands nombres, des nombres qui donnent le vertige:)
Qu'est-ce qu'un grand nombre? Quels sont les plus grands nombres sortis des délires des mathématiciens? 10? 100? 1000? le nombre d'atomes dans l'univers? un gogol? Rassurez vous, il y a bien plus grand que ça !
Le gogol
Tout d'abord, voici le gogol, nombre déjà très grand (même s'il est négligeable comparé aux autres nombres que nous allons voir ensuite :) ) Je resterai très bref sur ce nombre, puisqu'il existe un tas d'autre site qui en parle mieux que moi :) .
Pour se rendre compte de l'énormité de ce nombre, essayons de calculer le nombre de particules de l'univers : il y a environ mille milliards (\(10^{12}\)) de galaxies dans la partie visible de l'univers. Chaque galaxie compte en moyenne un autre miliers de milliards d'étoiles. On a donc, dans l'univers, à peu près \(10^{24}\) fois le nombre de particule qu'il y a dans le soleil. Le soleil pèse \(10^{33}\) grammes et chaque gramme contient \(10^{24}\) atomes (celà vient du fait qu'un proton pèse environ (\(10^{-24}\) grammes). Ainsi, il y a \(10^{33}*10^{24}=10^{33+24}=10^{54}\) particules présente dans le soleil. Donc, en remontant les calculs, on trouve qu'il y a \(10^{24}*10^{54}=10^{24+54}=10^{78}\) particules dans l'univers. (ceci bien sûr n'est qu'une approximation, on peut arrondir à \(10^{80}\))
Comparons maintenant ce nombre au gogol. Le gogol, c'est \(10^100\), c'est donc 100-80=20 fois plus que ce nombre.
Un gogol, c'est donc cent milliard de milliard de fois le nombre de particules de l'univers.
Le gogolplex
Le suffixe -plex
Afin de se représenter de très grand nombres, les mathématicien ont inventé une novelle nomenclature des nombre: il s'agit d'ajouter le suffixe -plex à un nombre, pour désigner dix puissance ce nombre, c'est à dire 1 suivi de ce nombre de fois 0.
Donc, logiquement, un gogolplex s'écrit un 1 suivi de 1 gogol de 0.
Remarque : notez qu'il est impossible ne serai-ce que d'écrire ce nombre dans sa notation décimale, puique, comme nous l'avons vu précédemment, même si toutes les particules de l'univers se changeaient en 0 et se mettaient à la suite, on ne serait même pas au milliardième du milliardième du gogolplex.
Encore plus loin
Faisons travailler un peu notre cerveau (et surtout notre imagination) :
Qu'est-ce qu'un 2plexplex?
Facile : 1 suivi de 2plex fois le chiffre zéro, c'est à dire 1 suivi de 100 fois le chiffre 0, c'est à dire un gogol !
Qu'est-ce qu'un 3plexplex?
Facile : 1 suivi de 3plex fois le chiffre zéro, c'est à dire 1 suivi de 1000 fois le chiffre 0, c'est à dire un gogol de gogol de gogol de gogol de gogol de gogol de gogol de gogol de gogol de gogol (ouf), soit
10000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 !
Qu'est-ce qu'un gogolplex ?
Facile : c'est un 2plexplexplex ! C'est aussi \(10^{10^{10^{2}}}\). Mais à part ça, ça représente pas grand chose, et c'est à la fois impossible de l'imaginer, à la fois impossible de l'écrire :)
Le nombre de Graham
Vous pensiez avoir tout vu ? Vous en êtes loin !
Les flèches de Knuth
Comme les plex ne suffisaient pas (ne me demandez pas pourquoi oO), les mathématiciens décidèrent d'inventer de nouvelles opérations : les flèches de knuth (\(\uparrow\uparrow\)).
En théorie, les choses ont l'air relativement simple : tout comme la multiplication est une itération de l'addition, la puissance est une itération de la multiplication, on définit \(\uparrow\uparrow\) comme étant une itération de la puissance et \(\uparrow^{n}\) comme étant une itération de \(\uparrow^{n-1}\). Tout de suite quelques exemples avant de continuer !
Soit un nombre BIEN plus grand que le gogolplexplexplexplex.
Vous voyez donc qu'avec les flèches de Knuth, les nombres augmentent très vite ! (et encore, on est resté avec des petits nombres comme 2,3 et 4)
Le nombre de Graham
Considérons maintenant la suite définie par :
$$
\left\{
\begin{array}{r c l}
U_0 &=& 4\\
U_{n+1} &=& 3\uparrow^{U_{n}}3
\end{array}
\right.
$$
Ainsi, on a :
Donc un nombre bien trop grand pour être écrit !! Plus grand que tous les nombres que nous avons vu précédemment, et même que le \(2\uparrow^{3}4\)plexplexplex :)
Comme vous avez pu le constater, ce sont des nombres qui augmentent de manière phénoménale.
On définit alors le nombre de Graham comme étant le 65ème terme de cette suite ! C'est un nombre très très très très grand......
Pour la petite histoire, le nombre de Graham est la solution au problème suivant : On colorie toute les arêtes d'un hypercube en n dimensions en rouge ou en bleu. Quelle est la plus petite valeur de n possible (la plus petite dimension) dans laquelle il existera toujours, quelque soit le coloriage, 4 sommets coplanaires tel que toutes les arêtes qui les relient sont coloriées de la même couleur?