D o u b l e     Z o o m


De très très très très grands nombres !


Nous allons nous intéresser dans cet article aux très grands nombres, des nombres qui donnent le vertige:)

Qu'est-ce qu'un grand nombre? Quels sont les plus grands nombres sortis des délires des mathématiciens? 10? 100? 1000? le nombre d'atomes dans l'univers? un gogol? Rassurez vous, il y a bien plus grand que ça !

Le gogol

Tout d'abord, voici le gogol, nombre déjà très grand (même s'il est négligeable comparé aux autres nombres que nous allons voir ensuite :) ) Je resterai très bref sur ce nombre, puisqu'il existe un tas d'autre site qui en parle mieux que moi :) .

Par définition, $$ gogol = 10^{100} = 10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000$$

Qu'est ce que ce nombre représente?

Pour se rendre compte de l'énormité de ce nombre, essayons de calculer le nombre de particules de l'univers : il y a environ mille milliards (\(10^{12}\)) de galaxies dans la partie visible de l'univers. Chaque galaxie compte en moyenne un autre miliers de milliards d'étoiles. On a donc, dans l'univers, à peu près \(10^{24}\) fois le nombre de particule qu'il y a dans le soleil. Le soleil pèse \(10^{33}\) grammes et chaque gramme contient \(10^{24}\) atomes (celà vient du fait qu'un proton pèse environ (\(10^{-24}\) grammes). Ainsi, il y a \(10^{33}*10^{24}=10^{33+24}=10^{54}\) particules présente dans le soleil. Donc, en remontant les calculs, on trouve qu'il y a \(10^{24}*10^{54}=10^{24+54}=10^{78}\) particules dans l'univers. (ceci bien sûr n'est qu'une approximation, on peut arrondir à \(10^{80}\))

Comparons maintenant ce nombre au gogol. Le gogol, c'est \(10^100\), c'est donc 100-80=20 fois plus que ce nombre.

Un gogol, c'est donc cent milliard de milliard de fois le nombre de particules de l'univers.

Le gogolplex

Le suffixe -plex

Afin de se représenter de très grand nombres, les mathématicien ont inventé une novelle nomenclature des nombre: il s'agit d'ajouter le suffixe -plex à un nombre, pour désigner dix puissance ce nombre, c'est à dire 1 suivi de ce nombre de fois 0.

Exemples

-Un 2-plex = \(10^{2}=100\)
-Un 3-plex = \(10^{3}=1000\)
-Un 10-plex = \(10^{10}=10000000000\)
-Un 100-plex = \(10^{100}=gogol\)

Le gogolplex

Donc, logiquement, un gogolplex s'écrit un 1 suivi de 1 gogol de 0.

Remarque : notez qu'il est impossible ne serai-ce que d'écrire ce nombre dans sa notation décimale, puique, comme nous l'avons vu précédemment, même si toutes les particules de l'univers se changeaient en 0 et se mettaient à la suite, on ne serait même pas au milliardième du milliardième du gogolplex.

Encore plus loin

Faisons travailler un peu notre cerveau (et surtout notre imagination) :

Qu'est-ce qu'un 2plexplex?
Facile : 1 suivi de 2plex fois le chiffre zéro, c'est à dire 1 suivi de 100 fois le chiffre 0, c'est à dire un gogol !

Qu'est-ce qu'un 3plexplex?
Facile : 1 suivi de 3plex fois le chiffre zéro, c'est à dire 1 suivi de 1000 fois le chiffre 0, c'est à dire un gogol de gogol de gogol de gogol de gogol de gogol de gogol de gogol de gogol de gogol (ouf), soit 10000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 !

Qu'est-ce qu'un gogolplex ? Facile : c'est un 2plexplexplex ! C'est aussi \(10^{10^{10^{2}}}\). Mais à part ça, ça représente pas grand chose, et c'est à la fois impossible de l'imaginer, à la fois impossible de l'écrire :)

Le nombre de Graham

Vous pensiez avoir tout vu ? Vous en êtes loin !

Les flèches de Knuth

Comme les plex ne suffisaient pas (ne me demandez pas pourquoi oO), les mathématiciens décidèrent d'inventer de nouvelles opérations : les flèches de knuth (\(\uparrow\uparrow\)).

En théorie, les choses ont l'air relativement simple : tout comme la multiplication est une itération de l'addition, la puissance est une itération de la multiplication, on définit \(\uparrow\uparrow\) comme étant une itération de la puissance et \(\uparrow^{n}\) comme étant une itération de \(\uparrow^{n-1}\). Tout de suite quelques exemples avant de continuer !

Exemples

-\(2 \uparrow \uparrow 3 = 2^{2^{2}}=2^{4}=16\)
-\(3 \uparrow \uparrow 4 = 3^{3^{3^{3}}}=3^{3^{27}}=3^{7625597484987}\)
-\(2\uparrow^{3}4 = 2\uparrow \uparrow2\uparrow \uparrow2\uparrow \uparrow2 =2\uparrow \uparrow 4 = 2\uparrow\uparrow2^{2^{2^{2}}} = 2\uparrow\uparrow65536 = \begin{matrix} \underbrace{2_{}^{2^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^2}}}}}}\\ \qquad\quad\ \ \ 65536\mbox{ fois }2 \end{matrix}\)

Soit un nombre BIEN plus grand que le gogolplexplexplexplex.
Vous voyez donc qu'avec les flèches de Knuth, les nombres augmentent très vite ! (et encore, on est resté avec des petits nombres comme 2,3 et 4)

Le nombre de Graham

Considérons maintenant la suite définie par : $$ \left\{ \begin{array}{r c l} U_0 &=& 4\\ U_{n+1} &=& 3\uparrow^{U_{n}}3 \end{array} \right. $$
Ainsi, on a :

-\(U_0 = 4\)
-\(U_1 = 3 \uparrow^{4} 3 = 3\uparrow\uparrow\uparrow (3 \uparrow\uparrow\uparrow 3) = 3\uparrow\uparrow\uparrow (3\uparrow\uparrow(3\uparrow\uparrow3)) = 3\uparrow\uparrow\uparrow (3\uparrow\uparrow3^{3^{3}}) = 3\uparrow\uparrow\uparrow (3\uparrow\uparrow7625597484987) = 3\uparrow\uparrow\uparrow \left(\underbrace{3_{}^{3^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^3}}}}}}_\textrm{7625597484987 fois}\right) = \underbrace{3\uparrow\uparrow3\uparrow\uparrow\cdots\uparrow\uparrow3}_\textrm{7625597484987 fois} \)

Donc un nombre bien trop grand pour être écrit !! Plus grand que tous les nombres que nous avons vu précédemment, et même que le \(2\uparrow^{3}4\)plexplexplex :)

-\(U_2 = 3 \uparrow^{\underbrace{3\uparrow\uparrow3\uparrow\uparrow\cdots\uparrow\uparrow3}_\textrm{7625597484987 fois}} 3\)

Comme vous avez pu le constater, ce sont des nombres qui augmentent de manière phénoménale.

On définit alors le nombre de Graham comme étant le 65ème terme de cette suite ! C'est un nombre très très très très grand......

Pour la petite histoire, le nombre de Graham est la solution au problème suivant :
On colorie toute les arêtes d'un hypercube en n dimensions en rouge ou en bleu. Quelle est la plus petite valeur de n possible (la plus petite dimension) dans laquelle il existera toujours, quelque soit le coloriage, 4 sommets coplanaires tel que toutes les arêtes qui les relient sont coloriées de la même couleur?